Die Finite Elemente Methode

Die Finite Elemente Methode (FEM, auch Finite Elemente Analyse FEA) ist ein numerisches Berechnungsverfahren zur näherungsweisen Lösung von partiellen Differentialgleichungen mit Randbedingungen. FEM ist weit verbreitet im Ingenieurswesen zur Berechnung von Verformungen an Bauteilen und Baugruppen.

Folgende Aufgabenstellungen können mit FEM gelöst werden:

  • Statik (linear/nichtlinear)
  • Dynamik
  • Frequenzanalysen
  • Thermische Berechnungen
  • Lebensdaueranalysen
  • Knicken
  • Fallprüfungen
  • Strömungssimulation

Der prinzipielle Ablauf einer solchen Analyse ist für alle Typen gleich und lässt sich in 4 Arbeitsschritte aufteilen.

1. CAD

Die Geometrie des zu untersuchenden Bauteils muss digital aufgebaut werden. Dies geschieht heute meist bereits während der Konstruktion in einem 3D-CAD-Programm. Die Geometrie der Konstruktion kann meist für die FEM-Berechnung noch vereinfacht werden, um den Berechnungsaufwand zu reduzieren.

2. FEA-Preprocessing

Im Preprocessing wird das mathematische Modell festgelegt. Dies bedeutet, dass die Randbedingungen (Einspannungen) und Lasten (Kräfte) festgelegt werden.

In einem weiteren Schritt wird die komplizierte Geometrie durch eine endliche Anzahl bekannter Elemente (Rechteck, Tetraeder) angenähert. Diesen Vorgang nennt man Vernetzung. Je kleiner die Elementgröße und somit je feiner das Netz ist, desto genauer lässt sich die Geometrie abbilden und desto besser sind die Ergebnisse. Mit steigender Elementanzahl und somit großer Anzahl an Freiheitsgraden, nimmt auch die Berechnungsdauer zu.

Ablauf_FEM_Analyse1

3. FEA-Lösung

Aus dem mathematischen Modell und den Vernetzungsinformationen kann die Differentialgleichung aufgestellt werde. Die Randbedingungen schränken einzelne Freiheitsgrade ein. Die Lasten werden als äußere Kräfte in das Gleichungssystem eingefügt. Je nach Analyseart kann die Differentialgleichung vereinfacht werde.

Ein Löser (Solver) führt dann die eigentliche FEM-Berechnung durch. Es gibt direkte und iterative Lösungsverfahren.

4. FEA-Postprocessing

Als Ergebnis vom Solver erhält man zum Beispiel die Verschiebungen der einzelnen Knoten im Netz. Daraus lassen sich dann Dehnungen, Spannungen und Sicherheitswerte berechnen.

In Frequenzanalysen erhält man als Ergebnis die Eigenfrequenzen und kann daraus Eigenformen bestimmen.

Ablauf_FEM_Analyse2